一.问题描述

给定长度为n的整数序列，a[1...n], 求[1,n]某个子区间[i , j]使得a[i]+…+a[j]和最大.或者求出最大的这个和.例如(-2,11,-4,13,-5,2)的最大子段和为20,所求子区间为[2,4].

二. 问题分析

1.穷举法

穷举应当是每个人都要学会的一种方式，这里实际上是要穷举所有的[1,n]之间的区间，所以我们用两重循环，可以很轻易地做到遍历所有子区间，一个表示起始位置，一个表示终点位置.代码如下:

[cpp] view plain copy int start = 0;//起始位置  int end = 0;  //结束位置  int max = 0;  for(int i = 1; i <= n; ++i)  {      for(int j = i; j <= n;++j)      {          int sum = 0;          for(int k = i; k <=j; ++k)              sum += a[k];          if(sum > max)          {             start = i;             end = j;             max = sum;          }      }  }

这个算法是几乎所有人都能想到的，它所需要的计算时间是O(n^3).当然，这个代码还可以做点优化，实际上我们并不需要每次都重新从起始位置求和加到终点位置.可以充分利用之前的计算结果.

或者我们换一种穷举思路,对于起点 i，我们遍历所有长度为1,2,…,n-i+1的子区间和，以求得和最大的一个.这样也遍历了所有的起点的不同长度的子区间，同时，对于相同起点的不同长度的子区间，可以利用前面的计算结果来计算后面的.

比如，i为起点长度为2的子区间和就等于长度为1的子区间的和+a[i+1]即可，这样就省掉了一个循环，计算时间复杂度减少到了O(n^2).代码如下:

[cpp]

int start = 0;//起始位置  int end = 0;//结束位置  int max = 0;  for(int i = 1; i <= n; ++i)  {      int sum = 0;      for(int j = i; j <= n;++j)      {          sum += a[j];          if(sum > max)          {             start = i;             end = j;             max = sum;          }      }  }

2.分治法

求子区间及最大和，从结构上是非常适合分治法的，因为所有子区间[start, end]只可能有以下三种可能性:

在[1, n/2]这个区域内

在[n/2+1, n]这个区域内

起点位于[1,n/2],终点位于[n/2+1,n]内

以上三种情形的最大者，即为所求. 前两种情形符合子问题递归特性，所以递归可以求出. 对于第三种情形，则需要单独处理. 第三种情形必然包括了n/2和n/2+1两个位置，这样就可以利用第二种穷举的思路求出:

以n/2为终点，往左移动扩张，求出和最大的一个left_max

以n/2+1为起点，往右移动扩张，求出和最大的一个right_max

left_max+right_max是第三种情况可能的最大值

示例：

[cpp]

int maxInterval(int *a, int left, int right)   {      if(right==left)        return a[left]>0?a[left]:0;         int center = (left+right)/2;      //左边区间的最大子段和      int leftMaxInterval = maxInterval(a,left,center);      //右边区间的最大子段和      int rightMaxInterval= maxInterval(a,center+1,right);         //以下求端点分别位于不同部分的最大子段和         //center开始向左移动      int sum = 0;      int left_max = 0;      for(int i = center; i >= left; –i)      {         sum += a[i];         if(sum > left_max)            left_max = sum;      }      //center+1开始向右移动      sum = 0;      int right_max = 0;      for(int i = center+1; i <= right; ++i)      {         sum += a[i];         if(sum > right_max)           right_max = sum;      }      int ret = left_max+right_max;      if(ret < leftMaxInterval)          ret = leftMaxInterval;      if(ret < rightMaxInterval)          ret = rightMaxInterval;      return ret;   }

分治法的难点在于第三种情形的理解，这里应该抓住第三种情形的特点，也就是中间有两个定点，然后分别往两个方向扩张，以遍历所有属于第三种情形的子区间，求的最大的一个，如果要求得具体的区间，稍微对上述代码做点修改即可. 分治法的计算时间复杂度为O(nlogn).

3.动态规划法

动态规划的基本原理这里不再赘述，主要讨论这个问题的建模过程和子问题结构.时刻记住一个前提，这里是连续的区间

令b[j]表示以位置 j 为终点的所有子区间中和最大的一个

子问题:如j为终点的最大子区间包含了位置j-1,则以j-1为终点的最大子区间必然包括在其中

如果b[j-1] >0, 那么显然b[j] = b[j-1] + a[j]，用之前最大的一个加上a[j]即可，因为a[j]必须包含

如果b[j-1]<=0,那么b[j] = a[j] ,因为既然最大，前面的负数必然不能使你更大

对于这种子问题结构和最优化问题的证明，可以参考算法导论上的“剪切法”，即如果不包括子问题的最优解，把你假设的解粘帖上去，会得出子问题的最优化矛盾.证明如下：

令a[x,y]表示a[x]+…+a[y] , y>=x

假设以j为终点的最大子区间 [s, j] 包含了j-1这个位置，以j-1为终点的最大子区间[ r, j-1]并不包含其中

即假设[r,j-1]不是[s,j]的子区间

存在s使得a[s, j-1]+a[j]为以j为终点的最大子段和,这里的 r != s

由于[r, j -1]是最优解, 所以a[s,j-1]<a[r, j-1],所以a[s,j-1]+a[j]<a[r, j-1]+a[j]

与[s,j]为最优解矛盾.

实例：

[cpp]

int max = 0;  int b[n+1];  int start = 0;  int end = 0;  memset(b,0,n+1);  for(int i = 1; i <= n; ++i)   {     if(b[i-1]>0)     {       b[i] = b[i-1]+a[i];     }else{       b[i] = a[i];     }     if(b[i]>max)       max = b[i];   }

转载于:https://www.cnblogs.com/z360/p/6360245.html

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